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Augustin et la logique du temps grammatical non mesurable

François Beets
p. 39-60

Résumé

Dans quelle mesure le calcul logique peut-il rendre compte de la temporalité en général et éclaircir plus particulièrement l'intuition du temps que décrivait Augustin dans ses Confessions ? L'objectif de cet article est de montrer que le système axiomatique du calcul classique des propositions,– dans la mesure où il peut, moyennant certaines conditions, être partiellement appliqué aux structures grammaticales indo-européennes exprimant la réalité du temps,– révèle que la conception augustinienne du temps élaborée dans les Confessions est inséparable de la structure grammaticale du latin dans laquelle elle est exprimée et des croyances théologiques de son auteur

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Texte intégral

  • 1 J.-N. Findlay, ‘Time, a treatment of some puzzles’, Australasian Journal of Psychology and Philosop (...)
  • 2 Rescher et Urquhart, Temporal Logic, Wien/New York, Springer, 1971.
  • 3 En anglais la Tense logic, par contraste avec la Logic of Time, qui rend compte du « temps objectif (...)
  • 4 Je cite le texte et la traduction des Confesssions d’après le volume de la « Bibliothèque Augustini (...)
  • 5 p. 300. « Si donc le présent, pour être un temps, ne le devient que parce qu’il s’en va dans le pas (...)
  • 6 p. 300. « …si rien ne passait, il n’y aurait pas de temps passé ; et si rien ne survenait, il n’y a (...)
  • 7 Où « ¬ » est le symbole de la négation et « |— » un symbole indiquant que l’expression qui suit est (...)

1C’est à J.-N. Findlay1 que l’on doit, à l’époque contemporaine, la première ébauche d’un calcul logique qui rende compte de la temporalité. L’auteur s’y référait aux pages qu’Augustin consacre au temps dans les Confessions et relevait certaines propriétés formalisables. Les résultats, parfois contestables, de Findlay donnèrent l’impulsion à une recherche que A.-N. Prior, G. von Wright, N. Rescher et d’autres devaient poursuivre. Mais au fur et à mesure que les résultats de l’analyse logique de la temporalité s’affinaient la référence à Augustin s’effaçait, au point de disparaître parfois complètement, comme dans l’ouvrage désormais classique de Rescher et Urquhart, Temporal Logic2. L’objet cette l’étude est de reprendre la lecture d’Augustin à partir de la logique du temps grammatical3. La démarche se justifie puisque Augustin tente de débrouiller son intuition du temps à partir des catégories que lui suggère la structure des flexions grammaticales du latin. Celles-ci peuvent – au moins partiellement – être captées grâce aux définitions, règles et axiomes du calcul des propositions classique, lorsqu’on leur ajoute deux opérateurs propositionnels à un argument : « F » et « P », tels que l’expression, « p est futur » sera notée : « Fp », l’expression « p est passé » sera notée : « Pp ». Ces deux opérateurs rendent compte de cette certitude qu’Augustin discute longuement : « sunt ergo et futura et praeterita. » (XI, xvii, 22)4. Le présent, quant à lui, ne requiert pas d’idéogramme particulier, la proposition « p » sera considérée comme désignant un événement, un état de fait, tel qu’il existe à l’instant présent. Le présent ne sera cependant pas une constante étant donné son caractère fugace pleinement saisi par Augustin : « si ergo praesens, ut tempus sit, ideo fit, quia in praeteritum transit, quomodo et hoc esse dicimus, cui causa, ut sit, illa est, quia non erit, ut scilicet non non uere dicamus tempus esse, nisi quia tendit non esse ? » (XI, xiv, 17)5. Ainsi l’expression, « c’est le cas (maintenant) que p », sera notée simplement par : « p ». Nous avons donc les trois instances du temps que nous suggère la structure des langues indo-européennes, instances qui sont sensées correspondre à la réalité : « …si nihil praeteritet, non esset praeteritum tempus, et si nihil adueniret, non esset futurum tempus, et si nihil esset, non esset praesens tempus… » (XI, xiv, 17)6. En plus des règles, définitions et axiomes du calcul des propositions, et des expressions primitives « P » et « F », il faut encore poser définitions suivantes : « Gp =déf. ¬F¬p » et « Hp =déf.¬P¬p » et les règles : « Si |— α, alors |— Gα » et « Si |— α, alors |— Hα »7.

  • 8 Prior, Papers on Time and Tense, Oxford UP, 1968, (Réed. 2003, p. 140). Il faut remarquer que Prior (...)
  • 9 Examinons ce qu’implique A1 pour notre conception du futur. Nous devons d’abord envisager l’hypothè (...)
  • 10 En termes plus formels, à l’instant présent t0, et au moins pour l’instant qui lui succède immédiat (...)
  • 11 Prior (op. cit., p. 140), puis Rescher et Urquhart, (op. cit., p. 55) choisissent plutôt que les ax (...)

2A ces définitions, règles et théorèmes ont peut ajouter une série d’axiomes, captant différentes propriétés du temps. Le premier système, Kt, que A. Prior attribue à E. J. Lemmon8 est sensé rendre compte de notre « intuition pure » du temps. Une « intuition pure » que nous ne pouvons guère refuser à Augustin car elle est dépendante de la structure linguistique des langues indo-européennes. Il nous y est demandé d’admettre les quatre expressions suivantes : « G(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) », « H(p⊃q)⊃(Pp⊃Pq) » (ces deux premières expressions disent respectivement que : Si toujours si p alors q, alors s’il sera le cas que p implique il sera le cas que q, et que : Si toujours si p alors q, alors s’il a été le cas que p implique il a été le cas que q9), « FHp⊃p » et « PGp⊃p » (la première de ces expressions nous dit que s’il est futur qu’il a toujours été vrai que p, alors il est vrai que p10, la seconde que s’il est passé qu’il sera toujours vrai que p, alors il est vrai que p11).

  • 12 Prior, op. cit., p 140 parle déjà d’image. L’expression règle du miroir est empruntée à Gardies, La (...)
  • 13 p. 308. « Existe-t-il aussi une explication semblable pour les prédictions du futur de sorte que le (...)

3La parenté structurelle entre les expressions déjà énumérées a conduit certains à proposer une règle, la règle du miroir (mirror-image rule12) qui nous permet, si on l’accepte, de faire l’économie de la moitié des axiomes et des théorèmes du système de la logique du temps grammatical non mesurable : « Si α est une thèse (axiome ou théorème) du système et que α’ est le résultat du remplacement dans de toute occurrence de « F » par « P » et de toute occurrence de « P » par « F », alors α’ est une thèse du système ». Cette règle, fort utile, a le désavantage d’imposer une symétrie entre le passé et le futur, que tous n’admettraient pas sans réserve. Mais Augustin l’admet, ainsi que le prouve la réponse positive qu’il donnera finalement à la question : « utrum similis sit causa etiam praedicendorum futurorum, ut rerum, quae nondum sunt, iam exsistentes praesentiantur imagines, confiteor, deus meus, nescio » (XI, xviii, 23)13.

  • 14 Ce sont donc deux nouveaux théorèmes du système, dont voici la démonstration :
    T6 : Gp&Fq⊃F(p&q)
    Démo (...)
  • 15 En voici les démonstrations :

    Quelle que soit notre conception du temps, « F(pvq)⊃(FpvFq) », en effe (...)
  • 16 En voici les démonstrations :
    T8 : F(pv¬p)⊃(FpvF¬p)
    (de T7, q/¬p)
    T8’ : P(pv¬p)⊃(PpvP¬p)
    (de T8, règl (...)
  • 17 Remarquons néanmoins que deux nouvelles règles d’inférences pourraient déjà être établies comme thé (...)

4Certaines expressions, correspondant à notre « intuition pure » du temps – et donc aussi à celle d’Augustin –, peuvent être déduites des précédentes. C’est le cas des deux suivantes : « Gp&Fq⊃F(p&q) » et « Hp&Pq⊃P(p&q) ». La première nous dit que s’il sera toujours le cas que p, et qu’il sera un jour le cas que q, alors il sera un jour le cas que p et q14, la seconde, image miroir dans le passé de la précédente, nous dit que s’il a toujours été le cas que p et qu’il sera un jour le cas que q, alors il sera un jour le cas que p et q. Ces deux expressions offrent l’intérêt de nous permettre de montrer à quelles conditions on peut distribuer les opérateurs temporels sur les expressions disjonctives. Soit les expressions : « F(pvq)⊃(FpvFq) » et « P(pvq)⊃(PpvPq) »15. Ces deux expressions permettent de déduire deux autres qui montrent à quel point notre intuition du temps, telle qu’elle est liée aux catégories grammaticales des langues indo-européennes, appelle celle d’un temps infini : « F(pv¬p)⊃(FpvF¬p) » et « P(pv¬p)⊃(PpvP¬p) »16. Ainsi que nous le verrons plus loin, les conséquents de chacune de ces expressions, « FpvF¬p » et « PpvP¬p », affirment respectivement l’infinité du temps futur et du temps passé. Or, dans les antécédents, l’argument propositionnel des opérateurs temporels « F » et « P », à savoir « pv¬p », est une thèse du calcul des propositions. Il suffirait donc, pour saisir la conception d’un temps infini, de simplifier nos règles d’inférences et de les rendre par les expressions : « Si |— α, alors |— Fα » et « Si |— α, alors |— Pα ». Mais, ainsi que nous le verrons en temps opportun, ces deux règles ne pourront être établies qu’après avoir admis les axiomes de l’infinité du temps17.

  • 18 Il s’agit, au niveau du choix formel que nous suivons en note, des axiomes choisis par Prior :
    T10  (...)

5Face à ces expressions déductibles de « G(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) » et « H(p⊃q)⊃(Pp⊃Pq) », d’autres le sont de « FHp⊃p » et « PGp⊃p »18, par exemple : « p⊃GPp” et « p⊃HFp ».

  • 19 p. 294. « tout passé est banni du futur, et (que) tout futur vient à la suite du passé » (p. 295).
  • 20 Soit les deux axiomes :
    A3 : FFp⊃Fp
    et
    A3’ : PPp⊃Pp
    Prior (op. cit., p. 141), puis Rescher et Urquhar (...)

6Le système minimal Kt attribué par Prior à Lemmon, s’il rend compte de notre « intuition pure » du temps, laisse s’échapper une propriété nodale de l’analyse augustinienne du temps que saisit partiellement l’assertion : « …omne praeteritum propelli ex futuro et omne futurum ex praeterito consequi » (XI, xi, 13)19. C’est la transitivité, qui règle la position relative des instants, à savoir que : « Si l’instant t est antérieur (ou postérieur) à l’instant t’, et que l’instant t’ est lui-même antérieur (ou postérieur) à l’instant t’’’, alors t est antérieur (ou postérieur) à t’’’« . Cette propriété peut être captée par deux expressions appartenant au système Kc que Prior attribue à Cocchiarella (1965). Soit : « FFp⊃Fp » et « PPp⊃Pp »20.

7Nous sommes enclins à admettre la transitivité du temps aussi bien pour le futur que pour le passé. La règle du miroir n’a donc pas d’incidence sur les expressions précédentes. Tel n’est pas le cas pour la linéarité. En effet, même si le temps d’un roman, d’une bande dessinée, d’un film ou même d’un système nous pouvons imaginer que le passé puisse être modifié, notre conception du temps est celui d’un temps dont le passé est linéaire. Cette linéarité est captée par la propriété suivante : « De deux événements passés, ou l’un a précédé l’autre, ou l’autre a précédé l’un, à moins qu’ils n’aient été contemporains ».

  • 21 Soit l’axiome A4’ : (Pp&Pq)⊃[P(p&q)vP(p&Pq)vP(Pp&q)]. Le fait que cet axiome capte bien la linéarit (...)

8Soit formellement : (Pp&Pq)⊃[P(p&q)vP(p&Pq)vP(Pp&q)]21.

  • 22 CF. Rescher et Urquhart (op. cit., pp. 72-73) qui tentent de minimiser le problème.
  • 23 p. 308. « Si en effet les choses futures et les choses passées sont, je veux savoir où elles sont. (...)
  • 24 Soit A4 : (Fp&Fq)⊃[F(p&q)vF(p&Fq)vF(Fp&q)]. Le fait que cet axiome rende bien compte de la linéarit (...)

9Si la linéarité du passé est largement admise, celle du futur (c’est-à-dire aussi sa fermeture sémantique) ne l’est pas toujours22. Aristote (De Interpretatione, chap. IX), les épicuriens et d’autres refuseraient l’idée que tous les énoncés décrivant le futur possèdent une valeur de vérité en tout temps qui le précède. Mais, pour Augustin, l’omniscience divine garantit la fermeture sémantique que suppose la linéarité du futur. Les questions qu’il se pose sur le lieu du futur ou le lieu du passé ne sont que des tentatives pour conceptualiser cette linéarité : « si enim sunt futura et praeterita, uolo scire, ubi sint. quod si nondum ualeo, scio tamen, ubicumque sunt, non ib ea futura esse aut praterita, sed praesentia. » (XI, xviii, 23)23. Cette propriété sera saisie par l’expression : (Fp&Fq)⊃[F(p&q)vF(p&Fq)vF(Fp&q)]24.

  • 25 p. 296. « Car ce temps lui-même, c’est toi qui l’avais fait, et les temps n’ont pu passer avant que (...)
  • 26 D’après Rescher et Urquhart (1971, p. 92) aussi, mais de façon plus prudente, que par Prior qui pro (...)
  • 27 Soit A5 : Fp⊃F¬Fp et A5’ : Pp⊃P¬Pp. Examinons le cas de A5. Pour que l’expression « Fp⊃F¬Fp » puiss (...)
  • 28 Ce « Hors-temps » est caractéristique de la conception augustinienne de Dieu : « …et intellegant te (...)
  • 29 Soit les théorèmes T14 : F |— α⊃F¬F |— α et T14’ : P |— α⊃P¬P |— α.
  • 30 A condition, bien sûr, qu’Augustin admette que les vérités éternelles appartiennent à l’ordre du te (...)
  • 31 p. 298. « Mais les nôtres existeront toutes, quand toutes elles n’existeront plus » (p. 299).

10La conception linéaire du temps, passé comme futur, qui ne fait pas l’unanimité chez les philosophes, convient bien à la conception augustienne de l’Histoire. Mais cette conception s’assortit de l’idée que le temps a un commencement, la Création, et une fin, le Jugement dernier. C’est d’ailleurs là le premier problème qui occupe Augustin dans son analyse de la temporalité : « id ipsum enim tempus tu feceras, nec praeterire potuerunt tempora, antequam faceres tempora. » (XI, xiii, 15)25. Voici l’une des façons dont ces propriétés peuvent être exprimées26 : « Fp⊃F¬Fp » et « Pp⊃P¬Pp ». Ces expressions captent effectivement une certaine idée du commencement et de la fin des temps27. Mais elles font plus : elles supposent aussi qu’il existe un dernier et un premier instant, c’est-à-dire qu’entre le dernier instant et la suspension du temps, il n’y a pas d’autre instant et que l’instant où le temps commence n’a pas de prédécesseur. Ceci impose une conception discrète du temps et interdit, par voie de conséquence, une conception dense ou rationnelle du temps et, a fortiori une conception du temps continu, qui n’est pourtant pas, pour Augustin, incompatible avec l’idée d’un temps adventice. Une certaine conception du « hors-temps28 », compatible avec certaines doctrines théologiques et même philosophiques, peut être dégagée en dérivant des expressions précédentes les règles d’inférence suivantes : « F |— α⊃F¬F |— α » et « P |— α⊃P¬P |— α »29. La règle de substitution nous autorise, en effet, à substituer à « p » dans une thèse n’importe quelle proposition bien formée, en ceci compris les tautologies du calcul des propositions30, par exemple « ¬(p&¬p) » (non-contradiction) ou « pv¬p » (tiers exclu). Les expressions précédentes nous disent alors, l’une que s’il est vrai que tant que le temps durera certains types d’expressions sont formellement nécessaires, il arrivera un instant (le dernier) où elles seront vraies pour la dernière fois. L’autre que s’il est vrai que depuis que le temps existe certains types d’expressions sont formellement nécessaires, il y a eu un instant (le premier) où elles ont été vraies pour la première fois. Cette idée peut nous choquer en ce que nous considérons que le formellement nécessaire le reste indépendamment de tout. Mais si l’on considère que Dieu, ce Dieu dans la contemplation duquel s’abîmeront les Élus après le Jugement dernier, échappe aux catégories de la pensée humaine, ces axiomes deviennent tout à fait acceptables. Augustin lui-même semble accepter la chose en admettant des années qui sont les nôtres : « isti autem nostri omnes erunt, cum omnes non erunt » (XI, xiii, 16)31.

  • 32 Soit A6 : p⊃¬Fp et A6’ : p⊃¬Pp. 
    Quelques soient les réserves, ou les interprétations, que nous leur (...)
  • 33 p. 300. « Si donc le présent, pour être un temps, ne le devient que parce qu’il s’en va dans le pas (...)

11Mais les expressions « Fp⊃F¬Fp » et « Pp⊃P¬Pp » peuvent aussi être interprétées d’une autre façon. Considérons arbitrairement que « p » est une expression conjonctive désignant l’état du monde à un instant précis. Alors, si le réel est flux, « p » ne correspond à l’état du monde qu’à un seul instant, et si à quelqu’instant « Fp » est vrai, alors « F¬Fp » l’est aussi, tout comme si « Pp » est vrai, alors « P¬Pp » l’est aussi. Ce mobilisme auquel semble souscrire Augustin pourrait aussi être capté par des expressions plus simples, à condition, bien sûr, d’accepter encore que « p » décrive l’état total du monde à un instant donné : « p⊃¬Fp » et « p⊃¬Pp »32. Ces expressions correspondent à l’assertion déjà invoquée : « si ergo praesens, ut tempus sit, ideo fit, quia in praeteritum transit, quomodo et hoc esse dicimus, cui causa, ut sit, illa est, quia non erit, ut scilicet non non uere dicamus tempus esse, nisi quia tendit non esse ? » (XI, xiv, 17)33.

  • 34 « Toujours » est le contraire de « jamais », les expressions qu’ils permettent de construire en s’a (...)
  • 35 Soit A7 : FpvF¬p et A7’ : PpvP¬p.
  • 36 En effet, l’expression » FpvF¬p » nous dit que quelque soit l’instant du temps, il existe toujours (...)
  • 37 Et non pas, comme l’écrit Gardies, que le temps n’a pas de fin et que le temps n’a pas de commencem (...)

12Les expressions précédentes ne nous permettent pas encore de saisir certaines propriétés du temps auxquelles nous recourons en utilisant des expressions telles que « toujours », « jamais » ou « au moins une fois ». Expressions temporelles qui peuvent s’appliquer tant pour le passé que pour le futur et forment deux carrés des oppositions34. Comme pour le carré des oppositions des propositions catégoriques, que Martianus Capella a élaboré à partir des propriétés observées par Aristote dans les Premiers Analytiques, comme aussi pour le carré des oppositions des propositions modales, les différentes propriétés non tautologiques mises en évidence par ces deux carrés sont telles qu’elles peuvent toutes être démontrées à partir de l’une d’elles. Dana Scott, ayant observé la chose, a choisi, en 1965, de prendre expressions caractéristiques : « FpvF¬p » et « PpvP¬p »35. Les propriétés de ces expressions révèlent que la conception du temps qui s’impose au travers des catégories qu’utilisent les langues indo-européennes (dont le latin d’Augustin), induit l’idée que le temps est une suite infinie pour le futur36 et pour le passé37. Cette propriété n’est incompatible avec l’idée d’un monde adventiste que si l’on considère qu’entre deux instants successifs il n’existe pas d’instant(s) intermédiaire(s). Dans cette conception, qui est celle d’un temps discret, si le temps possède une origine, le premier instant ne possède pas de prédécesseur, et s’il a une fin le dernier instant ne possède pas de successeur et dans ces deux cas limites les expressions « FpvF¬p » et « PpvP¬p » sont fausses. En d’autres termes la discrétion et l’infinité du temps imposent son éternité, ce que refuserait Augustin.

  • 38 Soit les théorèmes suivant :
    T16 : ¬F¬p⊃Fp
    Démonstration :
    (1) ¬Fp⊃F¬p (A7, interdéfinissabilité de « (...)

13Ces deux expressions offrent d’autres intérêts. Le premier est de nous permettre de simplifier les deux règles d’inférences et d’établir : « ¬F¬p⊃Fp » et « ¬P¬p⊃Pp », et donc « Gp⊃Fp » et « Hp⊃p » desquelles découlent : « Si |— α, alors |— Fα » et « Si |— α, alors |— Fα »38.

  • 39 Soit les théorèmes suivants :
    T22 : F(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq)
    Démonstration :
    (1) F(pvq)⊃(FpvFq) (T7)
    (2) (...)

14Les expressions liées à l’infinité du temps permettent encore de simplifier toute une série de thèses appartenant à notre « intuition pure » du temps : « F(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) », « P(p⊃q)⊃(Pp⊃Pq) », « p⊃FPp », « p⊃PFp », « GHp⊃p », « HGp⊃p », « FHp⊃FPp », « PGp⊃PFp », « FHp&PGp⊃FPp », « FHp&PGp⊃PFp » et « (FHp&PGp)⊃(FPp&PFp) »39.

  • 40 T29 : Gp⊃FFp
    (de T12 et T20)
    T29’ : Hp⊃PPp
    (de T29, règle du miroir)
  • 41 Une conception discrète du temps est une conception selon laquelle l’ordre des instants est isomorp (...)

15Si notre conception du temps suppose, comme celle d’Augustin la transitivité et l’infinité, nous devons accepter les expressions « Gp⊃FFp » et « Hp⊃PPp »40. Or ces expressions nous laissent entrevoir que pour des énoncés toujours vrais, comme par exemple le principe de non-contradiction ou le principe du tiers exclu, le temps a une structure telle qu’entre deux instants distincts, aussi rapprochés soient-ils, il existe toujours un instant. Cette conception est celle d’un temps dense ou rationnel (puisque d’une structure isomorphe à celle des nombres rationnels pour lesquels, entre deux nombres distincts, il existe toujours un autre nombre). Si l’on admet que le temps n’a pas une structure différente selon que les énoncés dont on traite sont des « vérités éternelles » ou de simples descriptions d’événements contingents, alors « Gp⊃FFp » et « Hp⊃PPp » nous conduisent à présumer de la vérité d’une telle conception du temps excluant, par là, la possibilité de la discrétion41.

  • 42 p. 314. « Mais le temps présent, comment le mesurons-nous puisqu’il n’a pas d’espace. » p. 315.
  • 43 Soit les axiomes : A9 : Fp⊃FFp et A9’ : Pp⊃PPp. Supposons l’existence de deux instants distincts et (...)

16Mais pour Augustin l’instant n’a pas de dimension : « praesens uero tempus quomodo metimur, quando non habet spatium ? » (XI, xxi, 27)42. Sa conception du temps est telle qu’il existe toujours un instant entre deux instants distincts, aussi rapprochés qu’ils soient. Formellement : « Fp⊃FFp » et « Pp⊃PPp ». Ces deux expressions, caractéristiques du temps dense ou rationnel, excluent la conception d’un temps discret43, ce qui convient à la conception augustinienne :

  • 44 p. 314. « Il passe donc de ce qui n’est pas encore, par ce qui manque d’espace, dans ce qui n’est p (...)

17« ex illo ergo, quod nondum est, per illud, quod spatio caret, in illud, quod iam non est. quid autem metimur nisi tempus in aliquo spatio ? neque enim dicimus simpla et dupla et tripla et aequalia et si quid hoc modo in tempore dicimus nisi spatia temporum. in quo ergo spatio metimur tempus praeteriens ? » (XI, xxi, 27)44.

  • 45 La continuité du temps est isomorphe à celles des nombres réels : Si nous divisons une série linéai (...)
  • 46 p. 304. « Si l’on conçoit un élément du temps qui ne puisse plus être divisé en parcelles d’instant (...)
  • 47 p. 334-6. « Le temps présent manque d’étendue parce qu’il passe en un instant, qui le nie ? Mais po (...)
  • 48 p. 324. « …je sais que c’est dans le temps que je dis cela, qu’il y a longtemps déjà que je parle d (...)
  • 49 La continuité du temps est captée par les axiomes :
    A10 : [¬F¬(¬P¬Fp⊃Fp)&¬P¬(¬P¬Fp⊃Fp)&(¬P¬Fp⊃Pp)] (...)

18Dense, le temps l’est pour Augustin, mais il est aussi continu, à l’image de la ligne géométrique ou de la série des nombres réels45, car il faut garantir la durée : « si qui intelligitur temporis, quod in nullas iam uel minutissimas momentorum partis diuidi possit, id solum est, quod praesens dicatur ; quod tamen ita raptim a futuro in praeteritum transuolat, ut nulla morula extendatur. nam si extenditur, diuiditur in praeteritum et futurum : praesens autem nullum habet spatium » (XI, xv, 20)46 ou encore « et qui negat praesens tempus carere spatio, quia in puncto praeterit ? sed tamen perdurat attentio, per quam pergat abesse quod aderit. » (XI, xxviii, 37)47. La mesure du temps, telle qu’on pouvait l’opérer au temps d’Augustin grâce à la clepsydre, au sablier ou au cadran solaire, suppose la durée et donc la continuité : « …scire me in tempore ista dicere et diu me iam loqui de tempore atque ipsum diu non esse diu nisi mora temporis. » (XI, xxv, 32)48. Or les expressions « Fp⊃FFp » et « Pp⊃PPp », que nous venons d’examiner, ne garantissent pas cette continuité. Cette propriété sera captée d’abord par l’expression : [G(HFp⊃Fp)&H(HFp⊃Fp) & (HFp⊃Fp)]⊃(Pp⊃Fp), qui nous dit que s’il sera toujours le cas, s’il a toujours été le cas et si c’est le cas que s’il a toujours été le cas que p sera alors p sera, alors s’il est passé que p, il est futur que p, puis par l’expression [H(GPp⊃Pp)&G(GPp⊃Pp) & (GPp⊃Pp)]⊃(Pp⊃Fp) qui nous dit que s’il a toujours été le cas et s’il sera toujours le cas et si c’est le cas que s’il a sera toujours le cas qu’il a été le cas que p alors il est passé que p, alors s’il est futur que p il est passé que p49.

19Qu’est-ce que le temps ? On connaît la réserve d’Augustin à propos de cette question. La conception qu’il développe résulte d’une tension fructueuse entre ses intuitions linguistiques et ses croyances théologiques : un temps transitif bien sûr mais aussi infini tout en restant borné, un temps dense et continu qui néanmoins est suspendu dans ce « hors-temps » qu’est l’éternité…

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Notes

1 J.-N. Findlay, ‘Time, a treatment of some puzzles’, Australasian Journal of Psychology and Philosophy, 1941, pp. 216-235.

2 Rescher et Urquhart, Temporal Logic, Wien/New York, Springer, 1971.

3 En anglais la Tense logic, par contraste avec la Logic of Time, qui rend compte du « temps objectif », conçu sur le modèle de l’espace géométrique.

4 Je cite le texte et la traduction des Confesssions d’après le volume de la « Bibliothèque Augustinienne » : Œuvres de Saint Augustin, vol. 14, Les Confessions, livres VIII-XIII, texte de l’édition de M. Skutella, traduction de E. Tréhorel et G. Bouissou, Desclée de Brouwer, 1962. Le passage invoqué ici se trouve p. 308 : « Il existe donc, et des choses futures et des choses passées. » (p. 309).

5 p. 300. « Si donc le présent, pour être un temps, ne le devient que parce qu’il s’en va dans le passé, comment disons-nous encore qu’il est, puisque la raison pour laquelle il est c’est qu’il ne sera plus, si bien que, de fait, nous ne pouvons dire en toute vérité que le temps est, sinon parce qu’il tend à ne pas être. » (p. 301).

6 p. 300. « …si rien ne passait, il n’y aurait pas de temps passé ; et si rien ne survenait, il n’y aurait pas de temps futur ; et si rien n’était, il n’y aurait pas de temps présent. » p. 301.

7 Où « ¬ » est le symbole de la négation et « |— » un symbole indiquant que l’expression qui suit est une thèse (définition, axiome ou théorème) du système. Il faut, pour être complet, mentionner la règle de bonne formation suivante : « Si ‘α’ est une EBF (expression bien formée) du système, alors ‘Fα’, ‘Pα’, ‘Gα’ et ‘Hα’ sont des EBFs ». Les deux règles d’inférences nous disent que si une expression est une thèse du système, elle le sera toujours et elle l’a toujours été. Dans un système plus formel, mais moins intuitif, ces règles seraient plutôt des théorèmes dérivés des règles d’inférences : R1 : « Si |— α, alors |— ¬F¬α » et R1’ : « Si |— α, alors |— ¬P¬α ». Les définitions de « G » et « H » permettent alors d’établir, comme théorèmes, les équivalences suivantes :

T1 : Gp ≡ ¬F ¬p
(de déf. « G »)
T1’ : Hp≡ ¬P ¬p
(de déf. « H »)
T2 : Fp≡ ¬G ¬p
(de T1, p/ ¬p)
T2’ : Pp≡ ¬H ¬p
(de T1, p/¬p)
T3 : Si |— α, alors |— Gα
(de R1 et déf. « G »)
T3’ : Si |— α, alors |— Hα
(de R1’ et déf. « H »)

8 Prior, Papers on Time and Tense, Oxford UP, 1968, (Réed. 2003, p. 140). Il faut remarquer que Prior ne donne aucune référence bibliographique au système qu’il attribue à Lemmon, pas plus qu’à ceux qu’il attribue plus tard à Cocchiarella ou à Dana Scott et que toute recherche à ce propos dans les répertoires bibliographiques se révèle infructueuse.

9 Examinons ce qu’implique A1 pour notre conception du futur. Nous devons d’abord envisager l’hypothèse que, quelle que soit notre conception du temps, linéaire ou ramifié, il existera un temps futur. Dans ce futur, qui n’est peut être qu’hypothétique, l’expression « G(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) » peut-elle être vraie ? Elle ne le serait pas si son antécédent « G(p⊃q) » pouvait être vrai alors que son conséquent « Fp⊃Fq » était faux. Mais qu’en est-il ? Le schéma suivant pourra nous éclairer :
Schéma 1
Image 1.png
Peu importe la valeur de « p » ou de « q » à l’instant t0, ce que nous dit l’expression « G(p⊃q) » c’est que chaque fois que dans le futur (peut-être hypothétique) c’est le cas que « p », alors c’est le cas que « q ». Aux instants t1 et t2 « p » est faux et donc, à l’instant t0 l’expression « Fp⊃Fq » est vraie. A l’instant t3 « p » est vrai et « q » également, et donc l’expression « Fp⊃Fq » est vraie à l’instant t0. Et même si à l’instant t4 « p » est faux alors que « q » est vrai, il n’en reste pas moins que l’expression « Fp⊃Fq » est vraie à l’instant t0, l’antécédent étant faux. Toutes les éventualités étant envisagées, il est donc établi que, dans l’hypothèse où il existe un temps futur, l’expression « G(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) » est vraie. Si par contre nous envisageons l’hypothèse dans laquelle il existe un dernier instant du temps, alors l’expression « G(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) » reste vraie pour tout instant antérieur à ce dernier instant, mais aussi au dernier instant, en effet, si « G(p⊃q) » est vrai à cet instant « Fp⊃Fq » l’est aussi puisque alors « Fp » est faux et l’expression « G(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) » est donc vraie. Nous avons donc la garantie que l’expression « G(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) » est vraie indépendamment du caractère linéaire, infini ou adventiste du temps. La même analyse vaut a fortiori pour le passé.

10 En termes plus formels, à l’instant présent t0, et au moins pour l’instant qui lui succède immédiatement, Hp est toujours vrai, en d’autres termes, ainsi que le montre le schéma 2 qui illustre la situation, que pour tous les instants antérieurs à t1, « p » est vrai, quelle que soit la valeur de « p » en t1 ou à un instant postérieur :
Schéma2
Image 2.png
Ainsi, si à l’instant t0 de l’assertion l’expression “FHp” est vraie, “p” l’est aussi, sans pour autant préjuger que le temps soit transitif, linéaire, adventice ou infini, discret, dense ou continu.

11 Prior (op. cit., p. 140), puis Rescher et Urquhart, (op. cit., p. 55) choisissent plutôt que les axiomes A1 et A1’ les expressions : « G(p⊃q)⊃(Gp⊃Gq) » et « H(p⊃q)⊃(Hp⊃Hq) ». Comme il est plus fréquent d’avoir affaire à un événement futur qu’à un événement qui le sera toujours nous préférerions, dans une analyse purement formelle, formuler ces axiomes, à l’aide des termes primitifs « F » et « P » plutôt qu’avec les termes définis « G » et « H ». Prior (op. cit., p. 140) choisit comme axiomes les expressions, très intuitives, « PGp⊃p » et « FHp⊃p » que nous lui empruntons ci-dessus. Nous préférerions les garder comme théorèmes (ci-dessous en note notre T10’ et notre T10). Rescher et Urquhart (op. cit., p. 55) choisissent plutôt comme axiomes les expressions, moins intuitives, mais équivalentes : « ¬H¬Gp⊃p » et « ¬G¬Hp⊃p ». Le système minimal auquel nous nous réfèrerons en note reposera sur les axiomes suivants :
A1 : ¬F¬ (p⊃q)⊃(Fp⊃Fq)
A1’ : ¬P¬ (p⊃q)⊃(Pp⊃Pq)
A2 : F¬P¬p⊃p
A2’ : P¬F¬p⊃p

Les premiers axiomes choisis dans l’exposé pour des raisons d’intuition deviennent alors des théorèmes :
T4 : G(pq)(FpFq)
(de A1, définition de « G »)
T4’ : H(pq)(PpPq)
(de T4, règle du miroir)

Les axiomes choisis par Prior et Rescher et Urquhart deviennent également des théorèmes :
T5 : G(p⊃q)⊃(Gp⊃Gq)
Démonstration :
(1) G(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) (T4)
(2) G(¬q⊃¬p)⊃(¬Fq⊃¬Fp) (de (1), contrapositions)
(3) G(p⊃q)⊃(¬F¬p⊃¬F¬q) (de (2), p/¬q, q/¬p)
(4) G(p⊃q)⊃(Gp⊃Gq) (de (3), déf. « G »)
CQFD
T5’ : H(p⊃q)⊃(Hp⊃Hq)
(de T5, règle du miroir)
Prior (p.141), puis Rescher et Urquhart (p. 55) choisissent ces deux expressions comme axiomes du système minimal de la logique du temps grammatical non mesurable. Ces expressions nous disent que Si toujours si c’est le cas que p alors c’est le cas que q, alors si c’est toujours le cas que p c’est toujours le cas que q. Ces expressions offrent moins d’intérêt pour notre intuition que les théorèmes T4 et T4’, en ce sens qu’il est plus fréquent de rencontrer des êtres contingents (n’ayant pas toujours été ou destinés à disparaître) que des êtres existant toujours. Néanmoins les deux théorèmes T5 et T5’, joints aux théorèmes T3 et T3’ montrent que la logique du temps grammatical non mesurable est, en ce qui concerne le toujours futur et le toujours passé, ce qu’il est convenu d’appeler une « logique modale normale », c’est-à-dire qu’elle satisfait aux deux conditions suivantes : « Une logique ∧ est normale si elle contient le schéma de formule : K : (AB)(AB), et si elle est dotée de la règle d’inférence modale de la nécessité (appelée en anglais necessitation rule), c’est-à-dire si l’on a : |—∧ A  |—∧ QA » (P. Gochet, P. Gribomont, A. Thayse, Logique, méthodes pour l’intelligence artificielle, volume 3, Paris, Hermès, 2000, p. 51). La première de ces conditions est remplie par les théorèmes T5 et T5’, la seconde par T3 et T3’.

12 Prior, op. cit., p 140 parle déjà d’image. L’expression règle du miroir est empruntée à Gardies, La logique du temps, Paris, PUF, 1975, p. 63.

13 p. 308. « Existe-t-il aussi une explication semblable pour les prédictions du futur de sorte que les choses qui ne sont pas encore soient perçues à l’avance dans leurs images déjà existantes ? Je le confesse, mon Dieu, je ne sais pas » (p. 309).

14 Ce sont donc deux nouveaux théorèmes du système, dont voici la démonstration :
T6 : Gp&Fq⊃F(p&q)
Démonstration :
(1) G(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) (T4)
(2) G(p⊃q)⊃(¬Fq⊃¬Fp) (de (1), contraposition sur le conséquent)
(3) G(p⊃q)⊃(Fqv¬Fp) (de (2), de Morgan)
(4) ¬ (Fqv¬Fp)⊃¬G(p⊃q) (de (3), contraposition)
(5) (¬Fq&Fp)⊃¬G(p⊃q) (de (4), de Morgan)
(6) (¬Fq&Fp)⊃¬G(¬pvq) (de (5), déf. «⊃»)
(7) (¬Fq&Fp)⊃¬G¬(p&¬q) (de (6), de Morgan)
(8) (¬Fq&Fp)⊃F(p&¬q) (de (7), déf. « G »)
(9) (¬F¬p&Fq)⊃F(q&p) (de (8), p/q, q/¬p)
(10) (Gp&Fq)⊃F(q&p) (de (9), déf. « G »)
(11) (Gp&Fq)⊃F(p&q) (de (10), commutativité)
CQFD
T6’
 : Hp&Pq⊃P(p&q)
(de T6, règle du miroir)
Considérons à quelles conditions l’expression « Gp&Fq⊃F(p&q) » peut être vraie. En ce cas la supposition qu’elle soit fausse doit déboucher sur une contradiction. C’est-à-dire que l’antécédent du conditionnel, « Gp&Fq », devrait être vrai en un instant quelconque du temps alors qu’en ce même instant le conséquent, « F(p&q) », est faux. Différentes hypothèses doivent être envisagées. D’abord l’hypothèse où le temps se ramifie vers le futur, à savoir que, en ce qui concerne le futur, le temps n’est pas linéaire. Dans cette hypothèse pour que l’expression « Gp&Fq » soit vraie il faut, par simplification que « Gp » soit vrai dans toutes les branches du temps. Il faut également (toujours par simplification) que, dans au moins une des branches du temps, « Fq » soit vrai. Soit le schéma suivant :
Schéma 3
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Au temps t0 les valeurs de “p” et de “q” importent peu. Mais dans toutes les branches futures du temps (si tant est qu’il y en ait) il faut, puisque “Gp” est vrai, que “p” soit vrai à chacun des instants “t1”, “t2” et ainsi de suite jusqu’à l’infini (ou au dernier instant s’il existe…) Pour que “Fq” soit vrai il suffit qu’en un quelconque instant, et sur une quelconque des branches du temps (si le temps se ramifie) qui suivent “t0” il soit le cas que “q”. C’est ce qui se réalise au temps “t2”. Si, dans une autre branche du temps, jamais, en aucun des insants postérieurs à “t0” la conjonction « Gp&Fq » n’était vraie, l’expression conditionnelle « Gp&Fq⊃F(p&q) » serait toujours vraie. Elle le reste aussi dans l’hypothèse où nous nous situons au dernier instant du temps. Dans ce cas l’expression « Fp » est fausse, et la conjonction « Gp&Fq » qui constitue l’antécédent du conditionnel de l’expression examinée est toujours fausse, donc l’expression « Gp&Fq⊃F(p&q) » est vraie.

15 En voici les démonstrations :
Image 4.jpg
Quelle que soit notre conception du temps, « F(pvq)⊃(FpvFq) », en effet nous ne pouvons pas trouver d’exemple où « F(pvq) » est vrai en même temps que « FpvFq » est faux. Si, dans l’hypothèse adventiste nous sommes au dernier instant du temps, alors « F(pvq) » est faux et le conditionnel « F(pvq)⊃(FpvFq) » est vrai. S’il le futur existe alors « F(pvq) » nous dit qu’en un instant quelconque de ce futur, même s’il n’est pas linéaire, « p » se réalisera ou « q » se réalisera (ou les deux). Soit le schéma suivant où le futur est ramifié :
Schéma 4
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Ce schéma envisage trois branches possibles du temps qui rendent vraie l’expression « F(pvq) » au temps t0. Sur la première « p » se réalise à l’instant « t4 » et l’expression « FpvFq » est vraie. Sur la seconde « p » se réalise à l’instant « t4 » et « q » à l’instant « t3 » (ces instants auraient pu être simultanés) et l’expression « FpvFq » est vraie. Sur la troisième « p » ne se réalise jamais mais « q » se réalise à l’instant « t3 », rendant l’expression « FpvFq » vraie. Aucun autre cas de figure ne permet de rendre vrai l’expression « F(pvq) » et donc d’invalider l’expression « F(pvq)⊃(FpvFq) ».

16 En voici les démonstrations :
T8 : F(pv¬p)⊃(FpvF¬p)
(de T7, q/¬p)
T8’ : P(pv¬p)⊃(PpvP¬p)
(de T8, règle du miroir)

17 Remarquons néanmoins que deux nouvelles règles d’inférences pourraient déjà être établies comme théorèmes :
T9 : Si |— α⊃β, alors |— Fα⊃Fβ
Démonstration :
(1) |— α⊃β (Hyp.)
(2) |— ¬β⊃¬α (de (1), contraposition)
(3) |— G(¬β⊃¬α) (de (2), T3)
(4) |— G¬β⊃G¬α (de (3), T5)
(5) |— ¬G¬α⊃¬G¬β (de (4), contraposition)
(6) |— Fα⊃Fβ (de (5), déf. « G »)
CQFD
T9’ : Si |— α⊃β, alors |— Pα⊃Pβ
(de T9, Règle du miroir)

18 Il s’agit, au niveau du choix formel que nous suivons en note, des axiomes choisis par Prior :
T10 : FHp⊃p
(de A2, définition de « H »)
T10’ : PGp⊃p
(de A2’, définition de « G »)
Mais aussi des deux théorèmes suivants :
T11 : p⊃GPp
(de T10, contraposition, déf. “G” et “H”)
T11’ : p⊃HFp
(de T11, règle du miroir)
Ainsi que nous le signalions plus haut, Rescher et Urquhart choisissent comme axiomes du système minimal les expressions « ¬G¬Hp⊃p » et « ¬H¬Gp⊃p »qui n’offrent aucun intérêt intuitif, mais peuvent être facilement démontrés de nos axiomes A2 et A2’ :
¬G¬Hp⊃p
Démonstration :
(1) F¬P¬p⊃p (A2)
(2) FHp⊃p (de (1), déf. « H »)
(3) F¬¬Hp⊃p (de (2), double négation)
(4) ¬G¬Hp⊃p (de (3), déf. de « G »)
CQFD
¬H¬Gp⊃p
(du précédent, règle du miroir)

19 p. 294. « tout passé est banni du futur, et (que) tout futur vient à la suite du passé » (p. 295).

20 Soit les deux axiomes :
A3 : FFp⊃Fp
et
A3’ : PPp⊃Pp
Prior (op. cit., p. 141), puis Rescher et Urquhart (op. cit., p. 76) choisissent comme axiomes équivalents à A3 et A3’ les expressions suivantes : « Gp⊃GGp » et « Hp⊃HHp » qui seront pour nous des théorèmes :
T12 : Gp⊃GGp
Démonstration :
(1) FFp⊃Fp (A3)
(2) ¬Fp⊃FFp (de (1), contraposition)
(3) ¬Fp⊃¬F¬¬Fp (de (2), double négation)
(4) ¬F¬p⊃¬F¬¬F¬p (de (3), p/¬p)
(5) Gp⊃GGp (de (4), déf. « G »)
CQFD
T12’ : Hp⊃HHp 
(de T12, règle du miroir)
Le schéma 5 illustre en quoi les deux axiomes captent bien la transitivité :
Schéma 5
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Il est ainsi impossible, pour peu que nous acceptions la transitivité du temps, qu’en un instant précis « t0 » « FFp » soit vrai et qu’en ce même instant « Fp » soit faux. Pour que « FFp » soit vrai en « t0 » il faut qu’il y ait au moins, entre le moment « t0 » et le moment où « p » est vrai un moment intermédiaire, par exemple, comme ici, « t1 ». Ceci sans préjuger de la linéarité (nous envisageons ici quatre branches possibles du temps), de la discrétion, de la densité, de la continuité, de l’adventicité ou de l’infinité du temps. En cet instant « t1 » « Fp » est vrai, et donc « FFp⊃Fp »aussi. Si, d’aventure, nous sommes au dernier ou à l’avant-dernier instant du temps, l’expression reste vraie.

21 Soit l’axiome A4’ : (Pp&Pq)⊃[P(p&q)vP(p&Pq)vP(Pp&q)]. Le fait que cet axiome capte bien la linéarité du passé peut être montré grâce au schéma suivant. Représentons le temps comme un système de valeurs successives, t0 représentant l’instant présent, et supposons que le passé soit ramifié. Il se peut ainsi que sur une des branches du temps, ici la branche supérieure, p soit toujours vrai et q faux, alors que sur une autre branche p soit toujours faux et q vrai :
Schéma 6
Image 7.png
Quelle est la situation au temps présent « t0 » ? Nous voyons que dans une certaine branche du passé p est vrai et que q est vrai dans l’autre branche. En d’autres termes, l’expression « Pp&Pq » est vraie au temps « t0 ». Mais jamais, dans aucune des branches nous n’avons p et q vrais simultanément, l’expression « P(p&q) » est donc fausse au temps « t0 ». Nous ne trouvons jamais non plus, dans chacune de ces branches le cas où p est vrai et où q soit vrai antérieurement. L’expression « P(p&Pq) est donc fausse. Il en va de même pour l’expression « P(Pp&q) » ». En d’autres termes, dans l’hypothèse où le passé est ramifié, l’antécédent de l’axiome A4’ peut être vrai, alors qu’aucune des expressions de la disjonction qui constitue son conséquent n’est vraie. Un conditionnel dont l’antécédent est vrai et le conséquent faux est faux, et l’axiome A4’ exclu donc la possibilité de l’existence d’un passé ramifié. A4’ capte donc la linéarité du passé.
Rescher et Urquhart (op. cit., p. 76) donnent pour axiome captant la linéarité du passé l’expression suivante, qui sera, pour nous, un théorème :
T13’ : [H(pvq)&H(pvHq)&H(Hpvq)]⊃(HpvHq)
Démonstration :
(1) (Pp&Pq)⊃[P(p&q)vP(p&Pq)vP(Pp&q)] (A4’)
(2) (P¬p&P¬q)⊃[P(¬p&¬q)vP(¬p&P¬q)vP(P¬p&q)] (de (1), p/¬p, q/¬q)
(3) (P¬p&P¬q)⊃[P¬(pvq)vP¬(pv¬P¬q)vP¬(¬Ppvq)] (de (2), de Morgan)
(4) (¬Hp&¬Hq)⊃[¬H(pvq)v¬H(pvHq)v¬H(Hpvq)] (de (3), déf. de « H »)
(5) ¬(HpvHq)⊃¬[H(pvq)&H(pvHq)& H(Hpvq)] (de (4), de Morgan)
(3) [H(pvq)&H(pvHq)&H(Hpvq)]⊃(HpvHq) (de(5), contraposition)
CQFD

22 CF. Rescher et Urquhart (op. cit., pp. 72-73) qui tentent de minimiser le problème.

23 p. 308. « Si en effet les choses futures et les choses passées sont, je veux savoir où elles sont. Si je ne le puis pas encore, je sais toutefois que, où qu’elles soient, elles n’y sont pas comme futures ou passées, mais comme présentes » p. 309.

24 Soit A4 : (Fp&Fq)⊃[F(p&q)vF(p&Fq)vF(Fp&q)]. Le fait que cet axiome rende bien compte de la linéarité du temps futur pourra être montré grâce à un schéma analogue au précédent. A4 et A4’ nous donnent le système Kl, qui permet de saisir un temps entièrement linéaire. Le théorème T13 : [G(pvq) & G(pvGq) & G(Gpvq)]⊃(GpvGq) pourra être démontré par simple application de la règle du miroir à T13’, si toutefois nous acceptons les conséquences de ce théorème, c’est-à-dire la linéarité du futur.

25 p. 296. « Car ce temps lui-même, c’est toi qui l’avais fait, et les temps n’ont pu passer avant que tu fisses les temps » (p. 297).

26 D’après Rescher et Urquhart (1971, p. 92) aussi, mais de façon plus prudente, que par Prior qui propose d’autres expressions (« Now », Nous, 1968, pp. 153-161), si nous voulons rendre compte du fait que le temps a une fin, nous devons avoir recours à la formule suivante : « GpvFGp ». Fidèles à notre option d’exprimer les axiomes au moyen des termes primitifs « F » et « P » plutôt qu’au moyen des termes « G » et « H », nous choisissons de donner l’axiome de la fin du temps par l’expression équivalente que l’on trouve chez Prior (p. 144).

27 Soit A5 : Fp⊃F¬Fp et A5’ : Pp⊃P¬Pp. Examinons le cas de A5. Pour que l’expression « Fp⊃F¬Fp » puisse être falsifiée il faudrait se trouver dans le cas où « F¬Fp » est faux et « Fp » est vrai. Or si à un instant qui ne soit pas le dernier « Fp » est vrai, (dans l’hypothèse extrême envisagée dans le schéma 7, « p » est vrai au dernier instant t5) et si après cet instant le temps est suspendu (l’expression « Fp » n’a plus d’application), alors, tant que « Fp » est vrai (c’est-à-dire jusqu’à l’avant-dernier instant), « F¬Fp » l’est aussi. Au dernier instant du temps par contre, « Fp » n’est plus vrai, puisqu’il n’y a plus de futur et donc le conditionnel « Fp⊃F¬Fp » est vrai.
Schéma 7
Image 8.png

28 Ce « Hors-temps » est caractéristique de la conception augustinienne de Dieu : « …et intellegant te ante omnia tempora aeternum creatorem omnium tempore neque ulla tempora tibi esse coaeterna nec ullam creaturam, etiamsi est aliqua supra tempora. » XI, xxx, 40, p. 340. « Qu’ils comprennent que tu es avant tous les temps l’éternel créateur de tous les temps, et qu’aucun des temps ne t’est coéternel, non plus qu’aucune créature, même s’il en est quelqu’une au-dessus des temps » p. 341.

29 Soit les théorèmes T14 : F |— α⊃F¬F |— α et T14’ : P |— α⊃P¬P |— α.

30 A condition, bien sûr, qu’Augustin admette que les vérités éternelles appartiennent à l’ordre du temps, ce qui n’est pas donné : « …at illa si permanerent, non essent tempora » XI, xiv, 17, p. 298. (« …mais eux, s’ils étaient permanents, ils ne seraient pas des temps » (p. 299)).

31 p. 298. « Mais les nôtres existeront toutes, quand toutes elles n’existeront plus » (p. 299).

32 Soit A6 : p⊃¬Fp et A6’ : p⊃¬Pp. 
Quelques soient les réserves, ou les interprétations, que nous leur attachons, si nous admettons A5 et A5’, les expressions choisies par Rescher et Urquhart deviennent alors des théorèmes :
T15 : GpvFGp
Démonstration :
(1) Fp⊃F¬Fp (A5)
(2) F¬p⊃F¬F¬p (de (1), p/¬¬p)
(3) ¬F¬pvF¬F¬p (de (2), interdéfinissabilité de « v » et « ⊃ »)
(4) GpvFGp (de (3), déf. « G »)
CQFD
T14’ : HpvPHp
(de T13, règle du miroir)

33 p. 300. « Si donc le présent, pour être un temps, ne le devient que parce qu’il s’en va dans le passé, comment disons-nous encore qu’il est, puisque la raison pour laquelle il est c’est qu’il ne sera plus, si bien que, de fait, nous ne pouvons dire en toute vérité que le temps est, sinon parce qu’il tend à ne pas être » p. 301.

34 « Toujours » est le contraire de « jamais », les expressions qu’ils permettent de construire en s’appliquant à un argument propositionnel peuvent toutes deux être fausses, mais elles ne peuvent être vraies ensemble. C’est la relation de contrariété. Par contre, si « toujours » est vrai alors « parfois » est vrai, et si « jamais » est vrai, « parfois pas » est vrai. Les propositions en question sont subalternes. Mais il est possible que « parfois » soit vrai de même que « parfois pas », c’est la sub-contrariété. Par contre si « parfois » est vrai « jamais » sera faux et vice versa, de même que si « parfois pas » est vrai, « toujours » sera faux et vice versa. Ces sont des propositions contradictoires. Ces relations de contrariété, de subalternation, de sub-contrariété et de contradiction définissent deux carrés logiques, l’un pour les expressions portant sur le futur, l’autre pour le passé. Soit d’abord le carré des expressions portant sur le futur. Ce carré des oppositions, dont on trouvera l’idée chez Averroès (Cf. Rescher, Temporal modalities in arabic logic, Dordrecht, Reidel, 1967, pp. 33-34), met en évidence les six propriétés suivantes, dont la plupart ne sont pas encore captées par le système axiomatique que nous avons jusqu’ici examiné : “Gp⊃¬G¬p”, “Gp⊃Fp”, “G¬p⊃F¬p”, “FpvF¬p”, “Fp≡¬G¬p” et “F¬p≡¬Gp”. Les deux dernières expressions sont des tautologies du système minimal du temps grammatical non mesurable et ont déjà été démontrées à partir de l’interdéfinissabilité de “F” et “G” (Cf. T2 et T1). Mais les autres ne sont pas tautologiques. Nous avons le carré équivalent pour les expressions portant sur le passé. Carré qui met en évidence les six propriétés suivantes : « Hp⊃¬H¬p », « Hp⊃Pp », « H¬p⊃P¬p », « PpvP¬p », « Pp≡¬H¬p » et « P¬p≡¬Hp ». Comme pour les expressions traitant du futur, les quatre premières propriétés ne sont pas tautologiques, les deux dernières appartiennent au système minimal du temps grammatical non mesurable (Cf. T2’ et T1’).

35 Soit A7 : FpvF¬p et A7’ : PpvP¬p.

36 En effet, l’expression » FpvF¬p » nous dit que quelque soit l’instant du temps, il existe toujours un instant futur, ce qu’illustre le schéma suivant, où quelque soit l’instant t0 (peu importe la valeur de « p » en cet instant) il est toujours soit vrai que « p » soit faux que « p » à l’instant qui suivra, et à tous ceux qui lui succèderont :
Schéma 8
Image 9.png
Ainsi l’expression « FpvF¬p » nous dit-elle qu’il n’y a pas de dernier moment du temps, pas que le temps est éternel vers le futur, c’est-à-dire qu’il n’existe pas un « hors-temps ». De même l’expression « PpvP¬p » nous dit que quelque soit l’instant du temps, il existe toujours un instant passé. Pas que le temps est éternel vers le passé. A7 et A7’ sont donc compatibles avec la conception d’un monde adventice, dont le temps, créé avec le monde, a un commencement et une fin « hors-temporalité » (le Big Bang, la Création, le Jugement dernier, la Fin de l’Histoire...).

37 Et non pas, comme l’écrit Gardies, que le temps n’a pas de fin et que le temps n’a pas de commencement (Jean-Louis Gardies, La logique du temps, Paris, P.U.F., 1975, p. 68).

38 Soit les théorèmes suivant :
T16 : ¬F¬p⊃Fp
Démonstration :
(1) ¬Fp⊃F¬p (A7, interdéfinissabilité de « v » et « ⊃ »)
(2) ¬F¬p⊃Fp (de (1), p/¬p)
CQFD
T16’ : ¬P¬p⊃Pp
(de T16, règle du miroir)
T17 : Si |— α, alors |— Fα
Démonstration :
(1) Si |— α, alors |— ¬F¬α (R1)
(2) Si |— α, alors |— Fα (de (1) et T16)
CQFD
T17’ : Si |— α, alors |— Pα
(de T17, règle du miroir)
T18 :  ¬Fp⊃F¬p
T18’ : ¬Pp⊃P¬p

39 Soit les théorèmes suivants :
T22 : F(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq)
Démonstration :
(1) F(pvq)⊃(FpvFq) (T7)
(2) F(¬p⊃q)⊃(¬Fp⊃Fq) (de (1) déf. « v » et « ⊃ »)
(3) F(p⊃q)⊃(¬F¬p⊃Fq) (de (2), p/¬p)
(4) F(p⊃q)⊃(Fp⊃Fq) (de (1) et T16)
CQFD
T22’ : P(p⊃q)⊃(Pp⊃Pq)
(T21, règle du miroir)
Les théorèmes T15, T15’, T22 et T22’ ont une importance qui échappera peut être au lecteur non averti. Ils nous montrent, en effet, qu’avec la présupposition de l’infinité du temps la logique du futur et celle du passé rencontrent les exigences d’une logique modale normale, alors que précédemment ces exigences n’étaient rencontrées que par les expressions il sera toujours le cas que… ou il a toujours été le cas que… En d’autres termes, avec la supposition du temps infini, la logique du temps grammatical non mesurable devient une logique doublement normale.
La supposition de l’infinité du temps a aussi des conséquences intéressantes sur les axiomes A2 et A2’ et les autres thèses du système minimal :
T23 : p⊃FPp
(de T11 et T16)
T23’ : p⊃PFp
(de T23, règle du miroir)
T24 : GHp⊃p
Démonstration :
(1) p⊃FPp (T23)
(2) ¬FPp⊃¬p (de (1), contraposition)
(3) ¬FP¬p⊃p (de (2), p/¬p)
(4) ¬F¬¬P¬p⊃p (de (3), double négation)
(5) GHp⊃p (de (4), déf. « G » et « H »)
CQFD
T24’ : HGp⊃p
(de T24, règle du miroir)
T25 : FHp⊃FPp
(de T10 et T23)
T25’ : PGp⊃PFp
(de T25, règle du miroir)
T26 : FHp⊃PFp
(de T10 et T23’)
T26’ : PGp⊃FPp
(de T26, règle du miroir)
T27 : FHp&PGp⊃FPp
(de T25 & T26’)
T27’ : FHp&PGp⊃PFp
(de T27, règle du miroir)
T28 : (FHp&PGp)⊃(FPp&PFp)
(de T27 et T27’)

40 T29 : Gp⊃FFp
(de T12 et T20)
T29’ : Hp⊃PPp
(de T29, règle du miroir)

41 Une conception discrète du temps est une conception selon laquelle l’ordre des instants est isomorphe à l’ensemble des nombres entiers (négatifs et positifs) ou avec un sous-ensemble de cet ensemble, en ce sens qu’entre deux instants se succédant immédiatement, tout comme entre deux nombres entiers successeurs immédiats, il n’y a pas d’intermédiaire. Cette propriété qui appartient à certaines conceptions du temps est saisie par l’axiome :
A8 : ¬F¬[(p⊃Fp)⊃(Pp⊃Fp)]&¬P¬[(p⊃Fp)⊃(Pp⊃Fp)]&[(p⊃Fp)⊃(Pp⊃Fp)].
La portée de cet axiome peut être rendue plus visible si on examine le théorème 74 qui lui est équivalent :
T30 : G[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]&H[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]&[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]
Démonstration :
(1) ¬F¬[(p⊃Fp)⊃(Pp⊃Fp)]&¬P¬[(p⊃Fp)⊃(Pp⊃Fp)]&[(p⊃Fp)⊃(Pp⊃Fp)]
(A8)
(1) ¬F¬[(¬p⊃F¬p)⊃(P¬p⊃F¬p)]&¬P¬[(¬p⊃F¬p)⊃(P¬p⊃F¬p)]
&[(¬p⊃F¬p)⊃(P¬p⊃F¬p)]
(de (1), p/¬p)
(3) ¬F¬[(¬F¬p⊃p)⊃(¬F¬p⊃¬P¬p)]&¬P¬[(¬F¬p⊃p)⊃(¬F¬p⊃¬P¬p)]
&[(¬F¬p⊃p)⊃(¬F¬p⊃¬P¬p)]
(de (3), contraposition)
(4) G[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]&H[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]&[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]
(de 3), déf. « G » et « H »)
CQFD
Supposons que « G(Gp⊃p)&H(Gp⊃p)&(Gp⊃p) » et « Gp » soient tous deux vrais au temps « t4 », mais que « Hp » soit faux. Il doit alors avoir un instant « t3 » antérieur à « t4 » auquel p est faux. Ainsi à l’instant « t4 » « G(Gp⊃p)&H(Gp⊃p)&(Gp⊃p) » tout comme en « t3 ». Mais en « t3 » « ¬Gp » est vrai, il doit y avoir un instant « t2 » antérieur à « t3 » auquel p est faux ; « t2 » ne peut se situer dans le futur de « t4 » car cela contredirait le fait que « Gp » soit vrai en « t4 », il ne peut non plus être l’instant « t4 » lui-même, car si tel était le cas nous devrions conclure qu’à l’instant « t4 » « ¬Gp », puisque en « t4 » « Gp⊃p ». Donc « t2 » doit se situer entre « t3 » et « t4 ». Nous pouvons reprendre le raisonnement pour « t2 » il y devrait y avoir un instant « t1 » entre « t2 » et « t4 ». Cela signifie qu’il y a une infinité d’instants entre « t3 » et « t4 » ce qui contredit notre hypothèse de la discrétion.
S’il est vrai que le temps est discret et qu’il est infini, la conjonction de A7, A7’ et A8 nous oblige à admettre un temps éternel saisi par l’axiome :
T31 : [(FGp⊃Fp)⊃(FGp⊃p)]&[(PGp⊃Pp)⊃(PGp⊃PPp)]&[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Pp)]
Démonstration :
(1) G[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]&H[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]&[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)] (T30)
F[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]&P[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]&[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]
(de (1), T20 et T 20’)
(3) [F(Gp⊃p)⊃F(Gp⊃Hp)]&[P(Gp⊃p)⊃P(Gp⊃Hp)]&[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]
(de (2), T22 et T22’)
(4) [(FGp⊃Fp)⊃(FGp⊃FHp)]&[(PGp⊃Pp)⊃(PGp⊃PHp)]&[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]
(de (3), T22 et T22’)
(5) [(FGp⊃Fp)⊃(FGp⊃p)]&[(PGp⊃Pp)⊃(PGp⊃PHp)]&[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Hp)]
(de (4) et T10)
(6) [(FGp⊃Fp)⊃(FGp⊃p)]&[(PGp⊃Pp)⊃(PGp⊃PPp)]&[(Gp⊃p)⊃(Gp⊃Pp)]
(de (4), T22’)
CQFD

42 p. 314. « Mais le temps présent, comment le mesurons-nous puisqu’il n’a pas d’espace. » p. 315.

43 Soit les axiomes : A9 : Fp⊃FFp et A9’ : Pp⊃PPp. Supposons l’existence de deux instants distincts et immédiatement successifs t0 et t1, et que p soit vrai pour la dernière fois à l’instant t1, « Fp » sera vrai pour la dernière fois à l’instant t0 et « FFp » sera faux en ce même instant.
Schéma 9
Image 10.png
En d’autres termes, les expressions « Fp⊃FFp » et « Pp⊃PPp » nous contraignent à accepter entre deux instants distincts, si rapprochés soient-ils, une infinité d’instants intermédiaires. Les deux expressions choisies par Prior et Rescher et Urquhart comme axiomes sont immédiatement démontrables de A9 et A9’ :
T32 : GGp⊃Gp
(de A9, contraposition, p/¬p, déf. « G »)
T32’ : HHp⊃Hp
(de T32, règle du miroir)
de ces deux théorèmes, on voit que l’hypothèse en quoi l’infinité du temps lie la densité à la transitivité :
T33 : GGp⊃Fp
(de T32 et T209)
T33’ : HHp⊃Pp
(de T33, règle du miroir)

44 p. 314. « Il passe donc de ce qui n’est pas encore, par ce qui manque d’espace, dans ce qui n’est plus. Or que mesurons-nous, sinon un temps dans un certain espace ? Car nous ne parlons de temps simples, doubles, triples, égaux, et d’autres rapports de ce genre, qu’à propos d’espace de temps. Dans quel espace mesurons-nous donc le temps quand il passe ? » p. 315.

45 La continuité du temps est isomorphe à celles des nombres réels : Si nous divisons une série linéaire ordonnée et dense L en deux ensembles non vides S1 et S2 trois possibilités peuvent se présenter : 1° S1 a un dernier membre, mais S2 pas de premier. 2° S1 n’a pas de dernier membre, mais S2 en a un premier. 3° S1 n’a pas de denier membre et S2 n’en n’a pas de premier. L’ordre de L est continu si la dernière possibilité ne se présente jamais. Ainsi l’ordre des rationnels est dense mais non continu, car la dernière possibilité est réalisée si S1 = (x :x2 ≤2), S2 = (x :x2 ≥2). Il y a un trou dans l’ordre des rationnels à l’endroit où √2 devrait se trouver, parce qu’aucun nombre rationnel x ne satisfait l’équation « x2 =2 » bien que nous puissions nous approcher aussi prêt que possible de l’un ou l’autre côté du trou qui est occupé par √2 dans la sérié des nombres réels. Dans la série des réels ce trou n’existe pas.

46 p. 304. « Si l’on conçoit un élément du temps qui ne puisse plus être divisé en parcelles d’instants, si minimes soient-elles, c’est cela seulement qui peut s’appeler le présent. Encore passe-t-il d’un vol si rapide du futur au passé qu’il n’a pas la moindre durée ; car s’il s’étend, il se divise en passé et en futur ; mais le présent n’a aucun espace. » p. 305.

47 p. 334-6. « Le temps présent manque d’étendue parce qu’il passe en un instant, qui le nie ? Mais pourtant l’attention a une durée continue, elle qui achemine vers l’absence ce qui sera présent. » p. 335-337.

48 p. 324. « …je sais que c’est dans le temps que je dis cela, qu’il y a longtemps déjà que je parle du temps, et que ce « longtemps » lui-même n’est « long temps » que grâce à une durée du temps. » p. 325.

49 La continuité du temps est captée par les axiomes :
A10 : [¬F¬(¬P¬Fp⊃Fp)&¬P¬(¬P¬Fp⊃Fp)&(¬P¬Fp⊃Pp)]⊃(Pp⊃Fp)
et
A10’ :  [¬P¬ (¬F¬Pp⊃Pp)&¬F¬(¬F¬Pp⊃Pp)&(¬F¬Pp⊃Fp)]⊃(Fp⊃Pp)
qui sont rendus plus lisibles après qu’on leur ait appliqué les définitions de « G » et de « H ».
T34 [G(HFp⊃Fp)&H(HFp⊃Fp)&(HF⊃pFp)]⊃(Pp⊃Fp)
(de A10, déf. de « G » et de « H »)
T34’ [H(GPp⊃Pp)&G(GPp⊃Pp)&(GPp⊃Pp)]⊃(Pp⊃Fp)
(de T34, règle du miroir)
Ces deux théorèmes permettent de démontrer les deux suivants :
T35 : [G(Gp⊃PGp)&H(Gp⊃PGp)&(Gp⊃PGp)]⊃(Gp⊃Hp)
Démonstration :
(1) [G(HFp⊃Fp)&H(HFp⊃Fp)&(HFp⊃Fp)]⊃(Pp⊃Fp)
(T34)
(2) [G(¬Fp⊃¬HFp)&H(¬Fp⊃¬HFp)&(¬Fp⊃¬HFp)]⊃(¬Fp⊃¬Pp)
(de (1), contraposition)
(3) [G(¬F¬p⊃¬HF¬p)&H(¬F¬p⊃¬HF¬p)&(¬F¬p⊃¬HF¬p)]⊃(¬F¬p⊃¬P¬p)
(de (2), p/¬p)
(4) [G(¬F¬p⊃P¬F¬p)&H(¬F¬p⊃P¬F¬p)&(¬F¬p⊃¬P¬F¬p)]⊃(¬F¬p⊃¬P¬p)
(de (3)déf. « H »)
(5) G(Gp⊃PGp)&H(Gp⊃PGp)&(Gp⊃PGp)]⊃(Gp⊃Hp)
(de 4, déf. « G »)
CQFD
T35’ : [H(Hp⊃FHp)&G(Hp⊃FHp)&(Hp⊃FHp)]⊃(Hp⊃Gp)
(de T35, règle du miroir)
T35 nous permet de comprendre en quoi A10 (et A10’) captent bien la continuité du temps. Supposons pour cela que dans une structure temporelle linéaire et continue L “G(Gp⊃PGp)&H(Gp⊃PGp)&(Gp⊃PGp)” soit vrai à l’instant t, de même que “GGp&HGp&Gp” alors que, toujours au même instant “Hp” soit faux. Nous pouvons diviser L en S1 et S2 selon que “Gp” ou “¬Gp” est réalisé, S1 et S2 étant non vides. Tout point en S1 doit précéder tous ceux de S2, car si cela n’était pas le cas, nous aurions à l’instant “t0” “Gp” et à l’instant “t1” “¬Gp” pour quelque “t0” antérieur à “t1”. Du fait que “Gp” est vrai à l’instant “t0” nous pouvons déduire, par transitivité de < qu’il est vrai à l’instant t que “GGp”, car “Gp” à l’instant “t1” contredirait notre hypothèse qu’à l’instant “t1” “¬Gp”. S2 ne peut avoir de premier membre, car “Gp⊃PGp” est réalisé partout sur L, car nous avons posé que “G(Gp⊃PGp) & H(Gp⊃PGp) & (Gp⊃PGp)” est vrai à l’instant “t0”. Il suit de la propriété de continuité possédée par L que S1 a un dernier élément “t1”, tel qu’en “t1” “¬Gp). De là, nous déduisons que à l’instant “t2” “¬p” pour quelque “t2” postérieur à “t1”. “t2” doit appartenir à S2, car “t1” est le dernier élément de S1 ; mais comme S2, ainsi qu’il a été montré, ne peut avoir de premier élément, pour quelque “t3” en S2 tel que “t3” est antérieur à “t2”, et qu’en “t3” “¬Gp”. Ceci constitue une contradiction et donc T35 est valide dans une conception continue du temps linéaire.

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Pour citer cet article

Référence papier

François Beets, « Augustin et la logique du temps grammatical non mesurable », Philosophique, 8 | 2005, 39-60.

Référence électronique

François Beets, « Augustin et la logique du temps grammatical non mesurable », Philosophique [En ligne], 8 | 2005, mis en ligne le 06 avril 2012, consulté le 24 novembre 2017. URL : http://philosophique.revues.org/138 ; DOI : 10.4000/philosophique.138

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